Jakob Stix's Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] PDF

By Jakob Stix

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1) Ein (Weil-)Divisor von A ist eine formale Z-Linearkombination von maximalen Primidealen. (2) Die Divisorgruppe ist die freie abelsche Gruppe auf der Menge der maximalen Primideale Z · p. Div(A) = p=(0) Das ist gerade die Gruppe der Divisoren von A. 23. Sei A ein Dedekindring. Die Bewertungen der gebrochenen Ideale vp bilden zusammen einen Gruppenisomorphismus ∼ v : IA − → Div(A) I→ vp (I) · p. p Beweis. 20. Sei A ein Dedekindring mit Quotientenkörper K. Zu x ∈ K × haben wir das gebrochene Hauptideal (x) ∈ IA .

Die auf Γ induzierte Topologie ist daher diselbe, wie die auf Zr ⊆ Rr , dem Standardgitter der ganzzahligen Vektoren im Rr . Also ist Γ diskret, somit ein Gitter. (a) =⇒ (b): Dies beweisen wir per Induktion über r = dim Γ R . Für r = 0 ist nichts zu tun. Für r = 1 ist Γ diskret in Γ R R. 4. Wir nehmen nun an, daß der Satz bewiesen ist für < r. Seien v1 , . . , vr ∈ Γ linear unabhängige Vektoren. Seien W0 = v1 , . . , vr−1 R ⊂ W = v1 , . . , vr R = Γ R und Γ 0 = Γ ∩ W0 . Dann ist Γ0 ein Gitter in W0 und zwangsläufig dim Γ0 R ≤ dim W0 = r − 1.

Die Einschränkung von −, − auf Beweis. Für alle x, y ∈ + τ C ist ein Skalarprodukt. + τ C gilt x, y = Φ∞ (x), Φ∞ (y) = x, y . Also nimmt x, y Werte in R an. Weiter gilt x, x > 0 für x = 0, weil −, − hermitesches Skalarprodukt ist. 48 JAKOB STIX Die Abbildung jC induziert einen Isomorphismus auf Gal(C/R)-Invarianten: + ∼ jR : F ⊗Q R − → . 12. Sei F ein Zahlkörper. Dann bildet + ∼ j : F → F ⊗Q R − → C τ jede Ordnung und jedes gebrochene Ideal von F auf ein vollständiges Gitter des Minkowski– Raumes ab.

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by Donald
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