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By Edwin H. Spanier

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L’analogue du théorème de Hasse-Minkowski est encore vrai pour les corps de nombres algébriques. Par contre, ce principe n’est plus vrai pour Z. Deux formes quadratiques sur Z sont dites avoir le même genre si elles sont équivalentes sur l’anneau des entiers p-adiques Zp pour tout p premier, et aussi sur R. Chaque genre est formé d’un nombre fini de classes d’équivalences (sur Z) ; ce nombre est appelé nombre de classes du genre.  Siegel. Un nouveau point de vue, plus géométrique, fut introduit par E.

Pour lui, penser axiomatiquement est synonyme de « ne pas penser autrement qu’avec conscience » ; en formulant des axiomes de plus en plus profonds, nous obtenons des vues de plus en plus pénétrantes sur l’essence de la pensée scientifique elle-même.  » La construction axiomatique est le degré le plus haut du développement d’une science, elle est le but vers lequel mène, pratiquement de lui-même, son progrès. Selon Hilbert, un des avantages de la méthode axiomatique est de libérer la science de tout préjugé et de toute idée de nature « naïve » : ses objets sont non seulement caractérisés de façon précise par les axiomes préliminaires, mais avant tout ils sont créés ; non seulement ils n’ont pas d’autres propriétés que celles qui leur sont attribuées par les axiomes, mais leur existence est considérée comme garantie par la caractérisation axiomatique et par elle seule.

En 1949, Weil, sous le titre Nombre de solutions d’équations dans des corps finis, propose des énoncés qui devraient être valides dans le cas de variétés de dimensions supérieures en généralisant la fonction zêta. Soit X une variété projective non singulière de dimension supérieure à 1, soit n, sur Fq. Posons : où Nn est le nombre de points de X à coordonnées dans Fqn. Voici les « conjonctures de Weil », devenues célèbres car elles sont à l’origine de nombreux travaux de géométrie algébrique depuis les années 1970 : – La fonction Z(X/Fq, T) est une fonction rationnelle de T, qui peut se mettre sous la forme : où les Pi sont de degré bi et leurs racines sont de module qi/2 (ce qui est précisément l’analogue de l’hypothèse de Riemann dans ce cadre) ; – On a une « équation fonctionnelle » pour la fonction zêta ; – Si X provient par réduction d’une variété projective complexe non singulière, alors les bi sont les i-ièmes nombres de Betti de cette variété.

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by Jason
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